toan-hoc

x^x luôn tăng, trừ đoạn từ 0 tới 1/e

Một bài giải x^x = 49 trên Medium viết rằng x^x luôn tăng với x dương. Thật ra nó giảm từ 0 tới 1/e rồi mới tăng, và cái đáy đó quyết định x^x = k có một nghiệm, hai nghiệm hay vô nghiệm.

Mình đọc bài "If x^x = 49, then x=?" của tài khoản Math in history trên Medium, đăng ngày 25/8/2026 ^[1]. Bài thuộc diện member-only nên mình phải đăng nhập mới đọc hết.

Ảnh bìa bài Medium: phương trình x^x = 49 viết cỡ lớn, phía trên là dải chữ "HARVARD ENTRANCE EXAM" trên nền xanh nhạt

Harvard không có kỳ thi đầu vào riêng: Harvard College chỉ yêu cầu SAT hoặc ACT ^[2], và phần chữ của bài cũng không nhắc tới Harvard lần nào.

Đáp số cuối bài, \(x = e^{W(\ln 49)} \approx 3{,}278\), là đúng. Mình thấy cấn chỗ bài giải thích vì sao phương trình chỉ có một nghiệm dương.

Hai đoạn trích từ bài Medium, tô vàng: tiêu đề "The function x^x is always increasing (for x>0)", và cụm "only increases and never decreases" trong câu "Because x^x only increases and never decreases (for positive x), a horizontal line drawn at height 49 will cross the curve of x^x at exactly one point. This tells us something important: there is only one real positive solution to x^x = 49." Giữa hai đoạn có lược bớt hai công thức và một đoạn văn

Câu "\(x^x\) chỉ tăng, không bao giờ giảm" không đúng.

Vẽ lại đồ thị

Bài gốc có vẽ đồ thị ngay bên dưới câu đó, trục y chạy từ 0 tới hơn 250. Ở thang đó, khi \(x\) nằm giữa 0 và 1 thì \(x^x\) luôn nhỏ hơn 1, nên cả đoạn dẹt thành một vệt sát trục hoành. Mình khoanh góc dưới bên trái của hình đó và vẽ lại phần ấy ở thang đo lớn hơn:

Bên trái: đồ thị gốc trong bài Medium, đường cong x^x trên trục y từ 0 tới 280, đường ngang nét đứt ở y = 49, một ô màu cam khoanh vùng x từ 0 tới 1,6 sát trục hoành. Bên phải: vùng đó vẽ lại với trục y từ 0,6 tới 1,75, đường cong đi xuống từ (0, 1), chạm đáy tại x = 1/e, khoảng 0,3679, với giá trị khoảng 0,6922, rồi đi lên

Hàm đi xuống từ điểm \((0, 1)\), chạm đáy tại \(x = 1/e \approx 0{,}3679\) với giá trị \(e^{-1/e} \approx 0{,}6922\), rồi mới đi lên. Muốn chắc thì không cần tin hình: viết \(x^x = e^{x \ln x}\) rồi lấy đạo hàm, được \(x^x(\ln x + 1)\). Thừa số \(x^x\) luôn dương, nên đạo hàm cùng dấu với \(\ln x + 1\), và biểu thức này âm khi \(x < 1/e\). Trên cả khoảng từ 0 tới \({}1/e\), hàm giảm.

Hình trong bài vẽ đúng số liệu. Ở thang đó, chỗ trũng sâu khoảng 0,31 chưa tới 1 pixel, nên nhìn hình ấy thì câu "never decreases" trông hợp lý.

Câu kết của bài sai khi k nhỏ hơn 1

Đáp số 3,278 không cần tới câu sai kia. Đáy của \(x^x\) nằm ở 0,6922, thấp hơn 1, nên đường ngang \(y = k\) với mọi \(k\) lớn hơn 1 chỉ cắt đồ thị một lần. Số 49 lớn hơn 1, nên kết luận "một nghiệm" vẫn đúng, nhờ vị trí của cái đáy.

Câu kết của bài thì sai: "The same method can be used to solve equations of the form xˣ = k, where k is a known number." Lấy \(k = 0{,}8\) thì phương trình có hai nghiệm dương, 0,0946 và 0,7395. Lấy \(k = 0{,}6\) thì không có nghiệm dương nào.

Đồ thị x^x với x từ 0 tới 1,75 và ba đường ngang. k = 1,35 (xanh lá) cắt đồ thị một lần. k = 0,8 (cam) cắt hai lần, tại x khoảng 0,0946 và 0,7395. k = 0,62 (đỏ) nằm dưới đáy và không cắt. Đường chấm đen ở 0,6922 đánh dấu đáy, nơi phương trình có một nghiệm kép tại x = 1/e

Người đọc tin rằng \(x^x\) luôn tăng, rồi áp phương pháp của bài cho \(x^x = 0{,}8\), sẽ tìm được 0,7395 và dừng ở đó, vì bài đã bảo chỉ có một nghiệm. Người thử với \(k = 0{,}6\) thì nhận về từ máy tính một số phức, khoảng \({}0{,}321 + 0{,}328i\), và bài không có chữ nào giải thích vì sao.

Giải bằng hàm Lambert W

Phần biến đổi của bài gốc thì đúng:

\[\begin{aligned} x^x &= 49 \\ x \ln x &= \ln 49 && \text{lấy } \ln \text{ hai vế} \\ \ln x \cdot e^{\ln x} &= \ln 49 && \text{vì } x = e^{\ln x} \\ u\,e^{u} &= \ln 49 && \text{đặt } u = \ln x \\ u &= W(\ln 49) && W \text{ là hàm ngược của } u\,e^{u} \\ x &= e^{W(\ln 49)} \end{aligned}\]

Mỗi dòng là cùng một phương trình viết theo một cách khác:

Ba đồ thị cạnh nhau. Bước 1: đường x^x cắt đường ngang y = 49 tại x = 3,2780. Bước 2: đường x ln x cắt y = ln 49, khoảng 3,8918, cũng tại x = 3,2780. Bước 3: đường u e^u cắt y = ln 49 tại u = 1,1872, tức ln của 3,2780

Đặt \(u = \ln x\) xong, vế trái có đúng dạng \(u e^u\), và W được định nghĩa là hàm ngược của \(u e^u\). Bài gốc gọi kết quả là "the exact algebraic solution". W là hàm siêu việt chứ không phải hàm đại số, nên chữ "algebraic" dùng sai. Công thức này cũng có sẵn từ lâu: bài báo năm 1996 của Corless, Gonnet, Hare, Jeffrey và Knuth liệt kê nghiệm của \(x^{x^a} = b\) là \(\exp(W(a \log b)/a)\), ghi nguồn cho Lémeray ^[3]. Thay \(a = 1\) là ra đúng \(e^{W(\ln 49)}\).

Trích mục "Solution of equations" trong bài báo của Corless và cộng sự (1996), trang 332. Tô vàng: "The solution of x^(x^a) = b is exp(W(a log b)/a)"

Hàm W có hai nhánh

Bài gốc giới thiệu W qua tính chất \(W(a e^a) = a\) và bỏ qua một điều: trên trục thực, W chỉ xác định khi đầu vào không nhỏ hơn \(-1/e\), và trên khoảng từ \(-1/e\) tới 0, W có hai giá trị ^[4]. Nhánh chính \(W_0\) cho giá trị từ \(-1\) trở lên, nhánh \(W_{-1}\) cho giá trị từ \(-1\) trở xuống, và hai nhánh gặp nhau tại điểm \((-1/e, -1)\). Cũng trong đoạn đó của bài báo 1996, nhóm tác giả viết rằng họ dùng chữ W theo cách Maple đã đặt, và đề xuất gọi nó là hàm Lambert W. Bài Medium viết "was later named", và "later" ở đây là thập niên 1990, hơn hai trăm năm sau Lambert.

Trích mục "Notation" trong bài báo của Corless và cộng sự (1996), trang 330. Tô vàng: "We use the letter W for this function, following early Maple usage", "We propose to call it the Lambert W function", và "there are two possible real values of W(x)" trong câu nói về x thực nằm giữa -1/e và 0

Giá trị đáy của \(x^x\) là \(e^{-1/e}\). Trong chuỗi biến đổi ở trên, thứ đi vào W là \(\ln k\). Lấy \(k\) bằng đúng giá trị đáy thì \(\ln k = \ln(e^{-1/e}) = -1/e\), đúng điểm hai nhánh của W gặp nhau.

Đồ thị hàm Lambert W. Nhánh W0 màu xanh đi từ (-1/e, -1) lên qua gốc toạ độ, tới điểm W(ln 49) = 1,1872 đánh dấu đỏ, ứng với x = e mũ 1,1872 = 3,2780. Nhánh W-1 màu cam đi từ (-1/e, -1) xuống dưới. Dải từ -1/e tới 0 tô nhạt là nơi W có hai giá trị, ứng với x^x = k có hai nghiệm khi 0,6922 < k < 1

Với \(k\) từ 0,6922 tới 1, \(\ln k\) nằm giữa \(-1/e\) và 0, đúng dải W có hai giá trị, nên \(x^x = k\) có hai nghiệm là \(e^{W_0(\ln k)}\) và \(e^{W_{-1}(\ln k)}\). Với \(k = 0{,}8\), hai công thức đó cho 0,7395 và 0,0946, trùng với hai điểm mình tìm bằng cách vẽ. Với \(k\) dưới 0,6922, \(\ln k\) nhỏ hơn \(-1/e\), nằm ngoài miền thực của W, nên không có nghiệm dương. Với \(k\) từ 1 trở lên, \(\ln k\) không âm, chỉ còn nhánh \(W_0\), nên có đúng một nghiệm.

Không có W thì tính thế nào

Bài gốc mở đầu bằng việc xếp cách giải số xuống hàng thứ hai: không có W thì "we generally find the solution using numerical methods such as trial and error or graphing rather than a standard algebraic formula". Nhưng muốn ra con số 1,1872 cho \(W(\ln 49)\), máy tính cũng phải lặp. Chính bài báo năm 1996 có một phần trình bày "an efficient numerical procedure for evaluating the function to arbitrary precision" ^[3].

Áp Newton thẳng vào \(x \ln x - \ln 49 = 0\), bắt đầu từ 3,2: sau vòng đầu sai số còn \({}4{,}4 \times 10^{-4}\), sau vòng hai còn \({}1{,}3 \times 10^{-8}\), sau vòng ba thì sai số đã nhỏ hơn độ chính xác của số thực 64-bit.

Với phép lặp điểm bất động, phương trình \(x \ln x = \ln 49\) viết lại được thành dạng \(x = g(x)\) theo hai cách: \(x = 49^{1/x}\) và \(x = \ln 49 / \ln x\). Cách thứ nhất trông tự nhiên hơn, nhưng lặp từ 3,3 thì dao động mỗi lúc một xa nghiệm. Cách thứ hai hội tụ, dù chậm: mỗi vòng, sai số chỉ còn khoảng 84% so với vòng trước.

Bên trái: sai số theo số vòng lặp, thang log. Lặp x theo 49 mũ 1/x (đỏ) tăng dần, lặp x theo ln 49 chia ln x (cam) giảm chậm, Newton (xanh) giảm từ khoảng 10 mũ -3 xuống dưới 10 mũ -15 trong ba vòng. Bên phải: trị tuyệt đối của ln x* theo k, cắt ngưỡng 1 tại k = e mũ e, khoảng 15,1543; bên trái ngưỡng là vùng hội tụ, bên phải là vùng phân kỳ, và k = 49 nằm trong vùng phân kỳ

Với \(g(x) = k^{1/x}\), đạo hàm tại nghiệm \(x^*\) rút gọn được thành \(-\ln x^*\). Phép lặp hội tụ khi trị tuyệt đối của nó nhỏ hơn 1, tức \(x^* < e\), tức \(k < e^e \approx 15{,}1543\). Với \(k = 49\) thì nghiệm 3,278 lớn hơn \(e\), nên cách thứ nhất phân kỳ. Cách thứ hai có đạo hàm tại nghiệm là \(-1/\ln x^*\), nghịch đảo của cách thứ nhất, nên nó chạy đúng ở vùng cách thứ nhất hỏng. Tại \(k = e^e\), nghiệm là \(e\), và cả hai cách cùng nằm đúng trên biên.

Mình tính phần này trước khi mở phần comment của bài.

Phần comment

Người đọc đã chỉ ra hai điểm chính ngay trong comment, tuần đầu sau khi bài lên: \(x^x\) không phải lúc nào cũng tăng, và W không có công thức sơ cấp nên rốt cuộc vẫn phải tính bằng số. Bài có 1.4K clap, còn lời sửa quan trọng nhất có 39.

Ngày 29/8, bốn ngày sau khi bài đăng, Simon Robinson chỉ ra đúng chỗ mình thấy cấn ở đầu bài, kèm cả vị trí của đáy:

Comment của Simon Robinson ngày 29/8, 39 clap: "Nice article, but with one very significant error. x^x is not always increasing for x>0. It decreases between 0 and 1/e, has a minimum at 1/e and then is increasing after that. Luckily that doesn't impact the solution to x^x=49."

Ngày 1/9, Steve Abney viết lại đúng ý đó, được 5 clap:

Comment của Steve Abney ngày 1/9, 5 clap: "The function x^x is not always increasing for x > 0. Its minimum occurs at 1/e"

Chuyện W không có công thức sơ cấp thì DCBoise đã viết từ 27/8, hai ngày sau khi bài lên, và được 3 clap:

Comment của DCBoise ngày 27/8, 3 clap: "But it was defined! W(x) is the inverse. of the function f(x) = x e^x. That is W(x) = f^{-1}(x). It 'undoes' f(x). There is no analytic formula for the Lambert W function based on elementary functions, but it can be computed numerically very efficiently."

Cùng ngày, Sub trích lại câu của DCBoise và viết rằng bài lẽ ra nên có câu đó. Comment này được 135 clap, nhiều nhất trong phần comment:

Comment của Sub ngày 27/8, 135 clap: "Interesting article, but it would have been much improved had it included one sentence from another commenter here: 'There is no analytic formula for the Lambert W function based on elementary functions, but it can be computed numerically very efficiently.' Also, I'm a little bit skeptical that was this really on a Harvard undergraduate entrance exam."

Cách giải bằng số cũng có sẵn trong comment: Pierre Decoodt chạy Newton ra 3,278032 sau ba vòng, Arturo R Montesinos đưa đúng phép lặp \(x \leftarrow \ln 49 / \ln x\). Vinod Mengle đưa thêm một cách xấp xỉ bằng tay ra 3,27785787, dù mình làm lại theo đúng các bước được mô tả thì chỉ ra 3,2722 và chưa tìm ra lệch ở đâu.

Biểu đồ cột ngang số clap. Bài viết 1.4K, cột bị cắt ngắn. Các comment: Sub 135, Layton James 114, William Tyler 89, Ricard Gavaldà 18 (xám, nhận xét về bài); Pierre Decoodt 62, Vinod Mengle 5, Arturo R Montesinos 4, DCBoise 3, CodeTune 0 (xanh lá, đưa thêm cách giải hoặc định nghĩa); Simon Robinson 39, Laurel W 9, Steve Abney 5 (đỏ, chỉ ra chỗ sai); Eric PASCUAL 55, Arthur Radley 5 (xám nhạt, ngoài lề)

Cả 14 comment trong biểu đồ cộng lại được 543 clap, chưa tới một nửa số clap của bài. Hai comment chỉ ra lỗi trung tâm được 44, ít hơn một câu trả lời hoài niệm về thước loga (55). Clap ở đây thưởng cho cách trình bày: chân dung Lambert, sáu bước đánh số, công thức render gọn gàng. Một câu sai nằm giữa những thứ đó được thưởng như phần còn lại.

Bình

Phụ lục: Citations (4)

Math in history. If x^x = 49, then x=?. Medium. Member-only story, đăng 25/8/2026, tài khoản Math in history. Đọc bản đầy đủ ngày 21/9/2026, lúc đó Medium hiển thị 1.4K clap và 44 phản hồi. Mục 'The function x^x is always increasing (for x>0)'; câu 'Because x^x only increases and never decreases (for positive x), a horizontal line drawn at height 49 will cross the curve of x^x at exactly one point'; 'This is the exact algebraic solution'; kết bài 'The same method can be used to solve equations of the form xˣ = k, where k is a known number'. Ảnh bìa ghi 'HARVARD ENTRANCE EXAM'. Các comment trích trong bài (Sub, DCBoise, Simon Robinson, Steve Abney, Pierre Decoodt, Arturo R Montesinos, William Tyler, Ricard Gavaldà, Vinod Mengle, Laurel W) đọc cùng ngày, số clap ghi theo lúc đọc.
Application Requirements, First-Year Applicants. Harvard College. 'Harvard requires the SAT or ACT to meet its standardized testing requirement.' Không có kỳ thi đầu vào do Harvard tự tổ chức. Đọc ngày 21/9/2026.
R. M. Corless, G. H. Gonnet, D. E. G. Hare, D. J. Jeffrey, D. E. Knuth. On the Lambert W Function. Advances in Computational Mathematics. Advances in Computational Mathematics 5 (1996) 329-359. Abstract: 'an efficient numerical procedure for evaluating the function to arbitrary precision'. Mục Notation (tr. 330): 'We use the letter W for this function, following early Maple usage. We propose to call it the Lambert W function'; với x thực, -1/e <= x < 0 'there are two possible real values of W(x)'. Mục Solution of equations (tr. 332): 'The solution of x^(x^a) = b is exp(W(a log b)/a)', ghi nguồn Lémeray.
DLMF 4.13 Lambert W-Function. NIST Digital Library of Mathematical Functions. 'On the z-interval [0,inf) there is one real solution'; 'On the z-interval (-e^-1, 0) there are two real solutions'; W0(-e^-1) = -1; W0 có điểm rẽ nhánh căn bậc hai tại z = -e^-1.